Oscilador de van der Pol

En sistemas dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no lineal. Su evolución temporal obedece a una ecuación diferencial de segundo orden:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

en la que x es la posición, función del tiempo t, y μ es un parámetro escalar que gobierna la no linealidad y el amortiguamiento.

Historia

El oscilador de van der Pol fue descrito por el ingeniero y físico Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips.^[1]​ Van der Pol encontró oscilaciones estables, que llamó oscilaciones de relajación,^[2]​ conocidas en la actualidad como ciclos límite, en circuitos que usaban válvulas de vacío. Cuando esos circuitos se hacen funcionar cerca del ciclo límite entran en acoplamiento y la señal entra en fase con la corriente. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en el número de septiembre de 1927 de Nature^[3]​ que para determinadas frecuencias aparecía un ruido irregular, siempre cerca de las frecuencias de acoplamiento. Fue uno de los primeros descubrimientos experimentales de la Teoría del caos.^[4]​

La ecuación de van der Pol tiene una larga historia en física y biología. Por ejemplo, en biología, Fitzhugh^[5]​ y Nagumo^[6]​ aplicaron la ecuación a un campo bidimensional en el modelo de FitzHugh-Nagumo para describir el potencial de acción de las neuronas. También se ha usado en sismología para modelar el comportamiento de dos placas en una falla.^[7]​

Forma bidimensional

El teorema de Liénard prueba que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$, donde el '.' indica derivada, la ecuación se puede escribir en forma bidimensional:^[8]​

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$

Resultados del oscilador no forzado

Hay dos regímenes de funcionamiento interesantes para el oscilador no forzado:^[9]​

• Cuando μ = 0, no hay amortiguamiento, y la ecuación queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.}$

Es la fórmula del oscilador armónico simple sin pérdida de energía.

• Cuando μ > 0, el sistema alcanzará un ciclo límite, en el que se conservará la energía. Cerca del origen x = dx/dt = 0 el sistema es inestable, y lejos del origen hay amortiguamiento.

El oscilador de van der Pol forzado

Utilizando una fuente de excitación sinusoidal Asin(ωt) la ecuación diferencial queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

en la que A es la amplitud de la ecuación de onda y ω su velocidad angular.

Referencias

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Van der Pol Oscillator» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
• Oscilador de van der Pol oscillator en Scholarpedia
• Oscilador de Van Der Pol Oscillator interactivo Archivado el 14 de febrero de 2017 en Wayback Machine.
• There's No Quiet Without Noise, New York Times

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