Sólido de Johnson

En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, y cada una de sus caras es un polígono regular. Por otra parte, no es uno de los sólidos platónicos, ni uno de los sólidos arquimedianos, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros J₁, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.

En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a un vértice, y el total de sus ángulos es menor a 360°. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60°, a lo sumo pueden concurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal (J₂) es un ejemplo de grado 5 (máximo).

Aunque no existen restricciones respecto a que un determinado polígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonos aplicables siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 o 10 lados.

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Historia

En 1966 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó una lista de 92 sólidos, dándoles nombre y número. Aunque no probó la imposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en 1969 Victor Zalgaller demostró que la lista era completa.

Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula cuadrada elongada (J₃₇) resulta única por tener vértices uniformes; cuatro caras concurren a cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo.

Nomenclatura

Los nombres listados son más descriptivos de lo que pueda parecer a simple vista. La mayoría de los sólidos de Johnson pueden construirse añadiendo una o más pirámides, cúpulas o rotondas en una de las caras de un prisma o antiprisma.

Se denomina cúpula al poliedro que tiene dos polígonos regulares paralelos, unidos lateralmente por triángulos equiláteros y cuadrados alternándose unos y otros.
La rotonda dispone también, como la cúpula, de dos polígonos regulares paralelos, pero se unen lateralmente por triángulos y pentágonos alternados.

Junto a estos tres poliedros se pueden utilizar para la construcción de los sólidos de Johnson; los sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.

El modo en que se combinan los distintos sólidos, se reflejan en su nombre mediante los siguientes términos y sufijos:

Bi- significa que hay dos copias de un sólido dado unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, se pueden unir de manera que se encuentren caras similares (orto-) o disimilares (giro-). Según esta nomenclatura, un octaedro sería una bipirámide cuadrada, un cuboctaedro sería una girobicúpula triangular y un icosidodecaedro sería una girobirrotonda pentagonal.
Elongado significa que se ha unido un prisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Según esta nomenclatura, un rombicuboctaedro sería una ortobicúpula cuadrada elongada.
Giroelongado significa que se ha unido un antiprisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Un icosaedro sería una bipirámide pentagonal giroelongada.
Aumentado significa que se ha unido una pirámide o cúpula a una de las caras del sólido dado.
Disminuido significa que se ha quitado una pirámide o cúpula de un sólido dado.
Giroide significa que se ha rotado una cúpula del sólido de forma que encaje de forma distinta. Un ejemplo está en la diferencia entre las orto- y las girobicúpulas.

Las tres últimas operaciones — aumento, disminución y giro — se pueden realizar más de una vez en un sólido lo suficientemente grande. Si se ha realizado una de estas operaciones dos veces, se indica con el prefijo bi- (por ejemplo, un bigiroide es un sólido que tiene dos de sus cúpulas rotadas); y si se ha realizado tres veces se indica con el prefijo tri- (por ejemplo, un sólido tridisminuido es aquel al que se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).

A veces los prefijos bi- y tri- dan lugar a ambigüedad. En el caso de que sea necesario distinguir entre un sólido al que se han alterado dos caras paralelas y uno al que se han alterado dos caras oblicuas, se indica la diferencia con los prefijos para- y meta-, respectivamente. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado es aquel al que se han aumentado dos caras paralelas, mientras que a un sólido metabiaumentado se le han aumentado dos caras oblicuas.

Enumeración

º
J_n	Nombre	Desarrollo	Imagen	Vértices	Aristas	Caras	Caras según número de lados						Simetría	Grupo
J_n	Nombre	Desarrollo	Imagen	Vértices	Aristas	Caras	F₃	F₄	F₅	F₆	F₈	F₁₀	Simetría	Grupo
1	Pirámide cuadrada			5	8	5	4	1					C_4v	Prismatoides y rotondas
2	Pirámide pentagonal			6	10	6	5		1				C_5v
3	Cúpula triangular			9	15	8	4	3		1			C_3v
4	Cúpula cuadrada			12	20	10	4	5			1		C_4v
5	Cúpula pentagonal			15	25	12	5	5	1			1	C_5v
6	Rotonda pentagonal			20	35	17	10		6			1	C_5v
7	Pirámide triangular elongada (o tetraedro elongado)			7	12	7	4	3					C_3v	Pirámides modificadas y bipirámides
8	Pirámide cuadrada elongada (o cubo aumentado)			9	16	9	4	5					C_4v
9	Pirámide pentagonal elongada			11	20	11	5	5	1				C_5v
10	Pirámide cuadrada giroelongada			9	20	13	12	1					C_4v
11	Pirámide pentagonal giroelongada (o icosaedro disminuido)			11	25	16	15		1				C_5v
12	Bipirámide triangular			5	9	6	6						D_3h
13	Bipirámide pentagonal			7	15	10	10						D_5h
14	Bipirámide triangular elongada			8	15	9	6	3					D_3h
15	Bipirámide cuadrada elongada (o cubo biaumentado)			10	20	12	8	4					D_4h
16	Bipirámide pentagonal elongada			12	25	15	10	5					D_5h
17	Bipirámide cuadrada giroelongada			10	24	16	16						D_4d
18	Cúpula triangular elongada			15	27	14	4	9		1			C_3v	Cúpulas y rotondas modificadas
19	Cúpula cuadrada elongada (Rombicuboctaedro disminuido)			20	36	18	4	13			1		C_4v
20	Cúpula pentagonal elongada			25	45	22	5	15	1			1	C_5v
21	Rotonda pentagonal elongada			30	55	27	10	10	6			1	C_5v
22	Cúpula triangular giroelongada			15	33	20	16	3		1			C_3v
23	Cúpula cuadrada giroelongada			20	44	26	20	5			1		C_4v
24	Cúpula pentagonal giroelongada			25	55	32	25	5	1			1	C_5v
25	Rotonda pentagonal giroelongada			30	65	37	30		6			1	C_5v
26	Girobifastigium			8	14	8	4	4					D_2d
27	Ortobicúpula triangular (Cuboctaedro girado)			12	24	14	8	6					D_3h
28	Ortobicúpula cuadrada			16	32	18	8	10					D_4h
29	Girobicúpula cuadrada			16	32	18	8	10					D_4d
30	Ortobicúpula pentagonal			20	40	22	10	10	2				D_5h
31	Girobicúpula pentagonal			20	40	22	10	10	2				D_5d
32	Ortocupularrotonda pentagonal			25	50	27	15	5	7				C_5v
33	Girocupularrotonda pentagonal			25	50	27	15	5	7				C_5v
34	Ortobirrotonda pentagonal (Icosidodecaedro girado)			30	60	32	20		12				D_5h
35	Ortobicúpula triangular elongada			18	36	20	8	12					D_3h
36	Girobicúpula triangular elongada			18	36	20	8	12					D_3d
37	Girobicúpula cuadrada elongada (Rombicuboctaedro girado)			24	48	26	8	18					D_4d
38	Ortobicúpula pentagonal elongada			30	60	32	10	20	2				D_5h
39	Girobicúpula pentagonal elongada			30	60	32	10	20	2				D_5d
40	Ortocupularrotonda pentagonal elongada			35	70	37	15	15	7				C_5v
41	Girocupularrotonda pentagonal elongada			35	70	37	15	15	7				C_5v
42	Ortobirrotonda pentagonal elongada			40	80	42	20	10	12				D_5h
43	Girobirrotonda pentagonal elongada			40	80	42	20	10	12				D_5d
44	Bicúpula triangular giroelongada (2 formas asimétricas)			18	42	26	20	6					D₃
45	Bicúpula cuadrada giroelongada (2 formas asimétricas)			24	56	34	24	10					D₄
46	Bicúpula pentagonal giroelongada (2 formas asimétricas)			30	70	42	30	10	2				D₅
47	Cupularrotonda pentagonal giroelongada (2 formas asimétricas)			35	80	47	35	5	7				C₅
48	Birrotonda pentagonal giroelongada (2 formas asimétricas)			40	90	52	40		12				D₅
49	Prisma triangular aumentado			7	13	8	6	2					C_2v	Prismas aumentados
50	Prisma triangular biaumentado			8	17	11	10	1					C_2v
51	Prisma triangular triaumentado			9	21	14	14						D_3h
52	Prisma pentagonal aumentado			11	19	10	4	4	2				C_2v
53	Prisma pentagonal biaumentado			12	23	13	8	3	2				C_2v
54	Prisma hexagonal aumentado			13	22	11	4	5		2			C_2v
55	Prisma hexagonal parabiaumentado			14	26	14	8	4		2			D_2h
56	Prisma hexagonal metabiaumentado			14	26	14	8	4		2			C_2v
57	Prisma hexagonal triaumentado			15	30	17	12	3		2			D_3h
58	Dodecaedro aumentado			21	35	16	5		11				C_5v	Sólidos de Platón modificados
59	Dodecaedro parabiaumentado			22	40	20	10		10				D_5d
60	Dodecaedro metabiaumentado			22	40	20	10		10				C_2v
61	Dodecaedro triaumentado			23	45	24	15		9				C_3v
62	Icosaedro metabidisminuido			10	20	12	10		2				C_2v
63	Icosaedro tridisminuido			9	15	8	5		3				C_3v
64	Icosaedro tridisminuido aumentado			10	18	10	7		3				C_3v
65	Tetraedro truncado aumentado			15	27	14	8	3		3			C_3v	Sólidos de Arquímedes modificados
66	Cubo truncado aumentado			28	48	22	12	5			5		C_4v
67	Cubo truncado biaumentado			32	60	30	16	10			4		D_4h
68	Dodecaedro truncado aumentado			65	105	42	25	5	1			11	C_5v
69	Dodecaedro truncado parabiaumentado			70	120	52	30	10	2			10	D_5d
70	Dodecaedro truncado metabiaumentado			70	120	52	30	10	2			10	C_2v
71	Dodecaedro truncado triaumentado			75	135	62	35	15	3			9	C_3v
72	Rombicosidodecaedro giroide			60	120	62	20	30	12				C_5v
73	Rombicosidodecaedro parabigiroide			60	120	62	20	30	12				D_5d
74	Rombicosidodecaedro metabigiroide			60	120	62	20	30	12				C_2v
75	Rombicosidodecaedro trigiroide			60	120	62	20	30	12				C_3v
76	Rombicosidodecaedro disminuido			55	105	52	15	25	11			1	C_5v
77	Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido			55	105	52	15	25	11			1	C_5v
78	Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido			55	105	52	15	25	11			1	C_s
79	Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido			55	105	52	15	25	11			1	C_s
80	Rombicosidodecaedro parabidisminuido			50	90	42	10	20	10			2	D_5d
81	Rombicosidodecaedro metabidisminuido			50	90	42	10	20	10			2	C_2v
82	Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido			50	90	42	10	20	10			2	C_s
83	Rombicosidodecaedro tridisminuido			45	75	32	5	15	9			3	C_3v
84	Biesfenoide romo (Dodecaedro siamés)			8	18	12	12						D_2d	Diversos
85	Antiprisma cuadrado romo			16	40	26	24	2					D_4d
86	Esfenocorona			10	22	14	12	2					C_2v
87	Esfenocorona aumentada			11	26	17	16	1					C_s
88	Esfenomegacorona			12	28	18	16	2					C_2v
89	Hebesfenomegacorona			14	33	21	18	3					C_2v
90	Biesfenocíngulo			16	38	24	20	4					D_2d
91	Bilunabirrotonda			14	26	13	7	3	5				D_2h
92	Hebesfenorrotonda triangular			18	36	20	13	3	3	1			C_3v

Sólido casi coincidente de Johnson

Un sólido casi coincidente de Johnson es un poliedro que se encuentra cerca de tener todas sus caras regulares, teniendo algunas caras levemente irregulares o todas sus caras irregulares con algún leve grado de distorsión, fallándole por poco a la definición de sólido de Johnson. Varios de estos poliedros son también simetroedros con algunas caras perfectamente regulares.

Véase también

Referencias

Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.
Victor A. Zalgaller (1969). Consultants Bureau, ed. Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN. Primera prueba de que solo hay 92 sólidos de Johnson.