Teselado cuadrado

Teselado cuadrado
Familia: teselado regular del plano
Teselado cuadrado regular.
Polígonos que forman las caras	Cuadrado
Configuración de vértices	4.4.4.4 (o 4⁴)
Grupo de simetría	p4m, [4,4], (*442)
Grupo de rotación	p4, [4,4]⁺, (442)
Poliedro dual	Autodual
Símbolo de Schläfli	{4,4} {∞}x{∞}
Símbolo de Wythoff	4 \| 2 4
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Propiedades
Figura isogonal Poliedro de aristas uniformes Poliedro de caras uniformes Simetría axial
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En geometría, un teselado cuadrado, mosaico cuadrado o cuadrícula cuadrada es un teselado regular bidimensional. Tiene símbolo de Schläfli ${4,4$ }, lo que significa que tiene 4 cuadrados alrededor de cada vértice.

Conway lo llamó cuadrilla.

El ángulo interior del cuadrado es de 90 grados, por lo que cuatro cuadrados en un punto hacen 360 grados completos. Es uno de tres mosaicos regulares del plano. Los otros dos son el teselado triangular y el teselado hexagonal.

Coloraciones uniformes

Hay 9 coloreados uniformes distintos de un teselado cuadrado. Nombrando los colores por índices en los 4 cuadrados alrededor de un vértice, se obtienen las combinaciones siguientes: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Los casos marcados con (i) tienen simetría de reflexión simple, y los marcados con (ii) poseen simetría de reflexión deslizada. Se pueden ver tres en el mismo dominio de simetría como colores reducidos: 1112_i de 1213, 1123_i de 1234 y 1112_ii reducido de 1123_ii.

9 coloreados uniformes
1111	1212	1213	1112_i	1122

p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123_i	1123_ii	1112_ii

pmm (*2222)		cmm (2*22)

Poliedros y mosaicos relacionados

Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y mosaicos regulares, que se extiende hasta plano hiperbólico: {4,p}, p=3,4,5...

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {4,n}
Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con octaedro, con Símbolo de Schläfli {n,4} y el diagrama de Coxeter , con n progresando hasta el infinito.

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {n,4}
Esférico		Euclídeo	Teselados hiperbólicos

2⁴	3⁴	4⁴	5<sup>4</sup>	6<sup>4</sup>	7<sup>4</sup>	8<sup>4</sup>	...∞<sup>4</sup>

*n42 mutaciones de simetría de teselados duales cuasiregulares: V(4.n)²
Simetría *4n2 [n,4]	Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto	No compacto
Simetría *4n2 [n,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Tiling Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

*n42 mutación de simetría de teselados expandidos: n.4.4.4
Simetría [n,4], (*n42)	Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto
Simetría [n,4], (*n42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Figuras expandidas
Configuración	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Configuración de figuras rómbica	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Construcciones de Wythoff a partir de teselados cuadrados

Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselados uniformes que se pueden basar en el teselado cuadrado regular.

Dibujando los teselados coloreados como rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul en los bordes originales, las 8 formas son distintas. Sin embargo, al tratar las caras de manera idéntica, solo hay tres formas topológicamente distintas: el teselado cuadrado, el teselado cuadrado truncado y el teselado cuadrado achatado.

Teselados uniformes basados en la simetría de teselados cuadrados
Simetría: [4,4], (*442)							[4,4]⁺, (442)	[4,4⁺], (4*2)


{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duales uniformes


V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Teselaciones topológicamente equivalentes

Se pueden hacer otros teselados con cuadriláteros que son topológicamente equivalentes al mosaico cuadrado (con 4 cuadrángulos alrededor de cada vértice).

Los mosaicos isoédricos tienen caras idénticas (face-transitivity) y vertex-transitivity, hay 18 variaciones, con 6 identificadas como triángulos que no se conectan de borde a borde, o como cuadrilátero con dos bordes colineales. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color.^[1]

Teselaciones de cuadriláteros isoédricos
Cuadrado p4m, (*442)	Rectángulo pmm, (*2222)	Paralelogramo p2, (2222)	Paralelogramo pmg, (22*)	Rombo cmm, (2*22)


Trapecio cmm, (2*22)	Cuadrilátero pgg, (22×)	Cometa pmg, (22*)	Cuadrilátero pgg, (22×)	Cuadrilátero p2, (2222)

Cuadriláteros degenerados o triángulos sin borde a borde
Isósceles pmg, (22*)	Isósceles pgg, (22×)		Escaleno pgg, (22×)		Escaleno p2, (2222)

Empaquetamiento de círculos

El teselado cuadrado se puede usar como un empaquetamiento de círculos, colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada cuadrado. De esta forma, cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el empaquetamiento (número de osculación).^[2] La densidad de empaquetamiento tiene una cobertura de π/4=78,54%. Hay 4 colores uniformes de los empaquetamientos circulares.

Apeirógonos complejos regulares relacionados

Hay 3 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del teselado cuadrado. Los apeirogonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p{q}r están restringidos por: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Las aristas tienen p vértices, y las figuras de vértice son r-gonales.^[3]

Autodual	Duales

4{4}4 o	2{8}4 o	4{8}2 o

Véase también

Tablero de damas
Retícula cuadrada
Teselado regular
Anexo:Politopos regulares
Anexo:Teselados uniformes

Referencias

↑ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, circle pattern 3
↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.

Bibliografía

Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3ra edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
Klitzing, Richard. «2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1».

Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p36
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Capítulo 2.1: Alicatados regulares y uniformes, p. 58-65)
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 asp?ProdCode=2205